小秘圈尊享更多干货！彩票怎样才能中奖？理论上，只能靠运气

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我如何中奖？

理论上，这只是运气。但是，如果规则设计不当，则可能会利用漏洞。

2005年2月，美国某彩票品种出现漏洞，被麻省理工学院的学生发现。在接下来的七年中，该学生通过反复购买该品种共赚了 300 万美元。

这篇文章描述了他是如何做到的，以及它背后的数学原理。我所依赖的资料主要来自斯坦福大学 (Youtube) 的数学教授 Jordan Ellenberg 的一次演讲。

一、期望

彩票最重要的数学概念称为“期望值”，即相同行为重复多次后所能获得的平均回报。

例如，如果每次抽奖2元，假设200次抽奖可以中奖，则奖金为300元。那么，你消费2000元，共抽1000次，中奖5次足彩中奖计算公式，奖金为1500元。

也就是说，1000次开奖的总收入是1500元，平均每次的收入是1.5元，也就是期望值。其计算公式如下。

预期值 = 300 * (1 / 200) + 0 * (199 / 200) = 1.5

期望值1.5元，但每次抽奖2元，所以净亏损0.5元。

一看就知道这件事不划算。你做的越多，它的成本效益就越低。偶尔买一张彩票是可以的；如果你整天不停地买彩票，你肯定会亏很多钱（在上面的例子中，你每 200 次就亏了 100 元）。

简而言之，预期价值是衡量彩票收入的关键指标。

二、马萨诸塞州 WinFall 彩票

马萨诸塞州有一种称为 WinFall 的彩票品种。它的规则很简单：从 1 到 48，如果你猜对了 6 个数字，你将获得一个奖品。

一期共售出930万张彩票，其中1个奖金100万美元的特别奖、238个一等奖、11,625个二等奖和1个9.80,000个三等奖。四等奖136.80,000.

计算显示，这张彩票的预期价值为0.798元。

期待=

100 万 * (1 / 930 万) +

4000 * (238 / 930 万) +

150 * (11625 / 930 万) +

5 * (19.80k / 9.3m) +

2 * (136.80k / 9.3m )

= 0.798

每张彩票的价格是2元，但平均收入只有0.798元，不到一半，可见这种彩票非常不划算。因此，它没有吸引力，购买此类彩票的人数正在减少。

州政府着急了，因为政府拿走了 20% 的彩票（0.每张 4 美元）。如果销售额下降，政府的收入也会下降。于是政府决定修改彩票规则，以增加彩票的吸引力。

三、新规则

新规则是，如果当期没有特别奖（没有人猜6个数字），那么奖品将分配给一等奖、二等奖和三等奖的中奖者。各奖项的新中奖金额如下。

同样使用之前的中奖率来计算期望值。

期待=

50000 * (238 / 930 万) +

2385 * (11625 / 930 万) +

60 * (19.80k / 9.3m) +

= 5.53

每张彩票的价格还是2元，但预期值变成了5.53元。购买这张彩票变得非常划算。如果你买很多，你可以获得2.5倍的收入。期望值大于抽奖成本，因为奖池还包含上期剩余的奖金。

麻省理工学院的一名学生发现了这一点。他凑了5000元买彩票，中了近15000元！

四、如何选择号码？

现在我们知道新规则彩票是有利可图的，可以批量购买。但是，还有一个问题，应该如何选号才能保证收益？也就是说足彩中奖计算公式，在这48个数字中，你应该选择哪6个数字才能使利润最大化？

毕竟，你不能买所有的彩票，因为彩票的收益来自那些没有中奖的人。您只能购买一部分彩票，并尽量使您购买的号码有最大的中奖机会。

为了简化思路，让我们考虑一个简单的情况。从1到7猜三个数字，奖金如下。

您可以同时选择七种组合（即买七张彩票），应该如何选择号码？

五、组合数公式

首先，我们考虑一下1到7这七个数字中，三个数字的组合有多少？在数学中，这被称为组合公式。

组合数公式是指从m个不同元素中取出n(n≤m)个元素的所有组合数，用符号c(m,n)表示。

其计算公式如下。

c(m, n) = m! /n！ * (m - n)！

上式中感叹号代表阶乘，例如4！等于 4 * 3 * 2 * 1 。

根据上面的定义，七个数中三个数的组合一共有c(7, 3).

c(7, 3) = 7! / 3! * (7 - 3)! = 35

这意味着三个数字有 35 种组合。我们可以全部列出来。

123 124 125 126 127

134 135 136 137

145 146 147

156 157

167

234 235 236 237

245 246 247

256 257

267

345 346 347

356 357

367

456 457

467

567

以上是35种可能的组合，你必须从中选择7种。你应该选择哪7种？

六、最佳组合

答案是以下七种组合。

123 145 167 247 256 346 357

通过这七张彩票最大化您的收入。因为，无论最终中奖号码是多少，它们都保证您将始终获得 6 美元。如果中奖号码为123，则获得一等奖6元；如果中奖号码是367，那么167、346、357 这三张彩票各猜两个号码，中了三个小奖，总奖金也是6元。

如果您仔细观察七张彩票，您会发现它们是经过精心挑选的：每个数字恰好出现了 3 次。这会导致您中了一个大头奖或三个小头奖。

七、几何选择

七张彩票是如何选出的？

有一种几何方法可以非常简单地做到这一点。七个数字是七个点。用直线连接它们。每行只能有三个点，每个点出现在三行上。画出上面的形状，你会得到七条线（内圈算一条线）。然后，跟踪每一行的数字，简单地选择了七张彩票。

更严谨的证明是这样的：1到7有7个数字，两个数字有21个组合（C(7, 2))，也就是说只要你买了所有21个组合的话是完整的，你可以保证赢得三个小奖。因为在三个中奖号码中，有两个数字的三个组合（例如中奖号码是367，那么36、37、67另一方面，由于每张彩票包含三个数字，即两个数字的三个组合，因此至少可以购买 7 张彩票，以涵盖所有 21 个组合。

八、实用策略

回到上一个问题，马萨诸塞州的彩票应该怎么买？

只要你猜6个号码中的4个，就可以中二等奖，只要你买了4个号码的所有组合，就可以保证中15个二等奖（有15个和4个） 6个中奖号码。数字组合C(6, 4))。

48个号码中有4个号码的194580个组合(C(48, 4))，由于一张彩票包含15个组合，至少买12972张彩票就够了(194580 / 15 = 1297 2），你可以包括所有四个数字组合。如果你有兴趣，你可以写一个程序来计算所有包含这194580个组合的彩票。

购买12972彩票，需要25944元（12972 * 2）。按照之前的奖金金额，二等奖是2385元，那么15个二等奖是35775元（2385 * 15）。因此，如果你投资25944元，你可以毫无风险地获得35775元。当然，这样做的前提是当期大奖没人猜到，否则奖金将被大大稀释。

（完）