阿兰齐尼奥在白兰恩胜利背后隐藏着许多球迷都熟悉的现象

2007年，布朗足球俱乐部在挪威超级联赛中笑到了最后。球迷们欣喜若狂，他们都觉得胜利属于巴西球员阿兰齐尼奥。只有Aranzinho没有为Brann效力，他为Brann的对手Starbeck效力。那么，这里到底发生了什么？

阿兰齐尼奥

布莱恩获胜的背后，隐藏着一个很多球迷都熟悉却鲜为人知的现象。在天赋异禀的阿兰齐尼奥的帮助下，斯塔贝克全程无敌，击败了一个又一个对手。在26轮比赛中，布兰登有幸遇到了刚刚被斯塔贝克击败的对手。“这被认为是 Brann 的一个优势：他们可以有组织地与较弱的球队比赛，”根特大学运筹学教授 Goossens 说。因为输球的球队可能会因与之前的对手的比赛而被红牌或停赛，所以他们的实力被削弱了，他们在失败后士气低落。“所以这个赛程让布兰很容易成为冠军。”

一般来说，在一轮比赛中，A队先对X队，然后B队在赛后对X队。在这种情况下，A队会给B队带来延迟效果。正如上面提到的例子所示，这种效果可以给B队带来优势，但也可能导致劣势。古森斯解释说：“作为一支中路球队，你可以在第一场比赛中鼓舞士气，因为你和弱队打了一场比赛，拿下比赛，自信地面对下一支球队。” 在这种情况下，X 队将受益，B 队也将受损。但无论谁受益，都应该安排好赛程，以避免像挪威联赛那样在同一支球队之间不断发生一系列滞后效应。

Goossens 和 Frits Spieksma 从 2006 年开始负责安排比利时职业联赛。当他们接手这项工作时，他们意识到了结转效应，他们决定看看其他足球联赛是如何处理的。考虑到金钱、注意力、球员努力等许多与足球相关的因素，答案令人惊讶：许多欧洲联赛都以最糟糕的方式处理了这个问题。

旋转时钟

许多主要联赛，包括德甲联赛、西班牙的西甲联赛和葡萄牙的西甲联赛，都在他们的赛程中使用了一种简洁且非常古老的几何方法。这种时钟方法是1850年英国数学家Thomas Pendyen Kirkman为解决所谓的“女孩问题”而发明的。

这是它的工作原理。如果赛程中有n支队伍（n为偶数），则先将前n-1支队伍排成一圈。然后将最后一个团队放在圆圈的中心并按如下方式配对（此方法适用于任何偶数n）：

这将使您获得第一轮的时间表。然后保持字母的位置不变，顺时针旋转线条，得到如下结果：

这是第二轮赛程。然后继续顺时针旋转线条以获取所有时间表。在最后一轮中，您将获得以下结果：

这种方法的结果是一个完整的 n-1 轮比赛时间表，其中每支球队只与另一支球队进行一场比赛，并且没有冲突。

第1轮

第二轮

第三轮

第四轮

第 5 轮

第六轮

第7轮

啊

交流电

AE

股份公司

AB

广告

自动对焦

BG

BH

BD

高炉

CG

公元前

是

CF

危险品

甲烷

行政长官

东风

例如

光盘

德

英孚

FG

DH

嗯

跳频

生长激素

一旦赛程的骨架出来了，还需要考虑主客场的影响，合理安排回场比赛，将上面的字母替换成真实的球队名称，以满足其他可能有的约束足球赛赛程表怎么做，比如两个球队共用一个球场，主场比赛不能在同一天进行。主客场比赛也可以使用轮换时钟的方法来确定，但我们将忽略这些额外的任务，而专注于如何创建考虑到滞后效应的时间表。

如上表中的颜色所示，F队给A队带来了5个挥之不去的效果。考虑到这个例子一共只有7轮，这不是一个好的时间表。要了解持续效应如何影响整个锦标赛的游戏，我们可以创建一个持续效应表。X 行 Y 列对应的条目是 X 队对 Y 队的挥之不去的影响的次数。我们示例中的滞后效应表显示了一个非常好的模式，但这不是我们想要的。在7组配对中，一队一共给另一队带来了5次延误。

滞后效应似乎在一定程度上影响了比赛的结果，因此古森斯和斯皮克斯马以及埃里克·兰布雷希茨和安妮特·菲克决定更深入地研究这个理论。他们发现并在数学上证明了，当谈到滞后效应时，旋转时钟方法可能是最糟糕的方法。

这是一个相当令人震惊的结果。“这是足球和其他运动中最常见的时间表，但它太糟糕了，我认为我们可以为比赛的相对公平性做点什么，”古森斯说。在学术文献中，结转效应在 1980 年代首次被提及，但由于某种原因尚未得到足够的重视。“人们要么没有意识到这一点，要么他们意识到了这一点，但他们不知道它的名称或术语。”

最坏的结果

旋转时钟法最坏的效果是什么？衡量结转效应影响的一种可行方法是将影响数量的平方相加。（我们将表中数字的平方相加的原因是，仅计算数字本身会得出相同的结果。）在上面的示例中，该值为 196。Goossens 和他的同事表明，滞后效应值为对于使用时钟方法生成的计划，总是最大的。相反，任何具有最大滞后效应值的表格都可以使用时钟方法生成，例如通过改变字母排列成圆形的方式。

当一支球队遭受停赛时，他们的对手可能会在下一轮中受益。

为了让您了解滞后效应有多糟糕，让我们考虑一个有 n = 20 支球队的比赛。最知名的时间表（尽可能减少延迟）产生的延迟值为 380。旋转时钟法对应的值是5548。对于n = 24，都是644和10212，差别太大了！

力求平衡

旋转时钟方法肯定行不通。理想情况下，我们希望有一个时间表，其中一个团队在整个时间表中对其他团队施加的滞后效应应该是均匀分布的，即每个团队都可以准确地确定其他团队给你带来挥之不去的影响的次数。这个时间表是比较平衡的。在这种平衡格式下，滞后效应值为：n(n-1)，而时钟法得到的值为：((n-3)2+3)(n - 1)。

然而，实现相对平衡说起来容易做起来难。在涉及 24 支球队的比赛中，我们只能找到 n=4、8、16、20、22 支球队的平衡赛程。对于n的其他值，我们要么知道平衡表不存在，要么不知道它是否存在，或者它存在时的样子。下表告诉我们哪个选项适用于每个 n。更一般地说，有平衡表的n的值一般是2的几个幂，但也有例外足球赛赛程表怎么做，比如20和22。令人惊讶的是，足球赛程中还有未解决的数学问题。

不过，也有好消息。“一旦你不再完全依赖时钟方法，情况就会很快好转，”古森斯说。“只是一些变化产生了更平衡的时间表。”

为了生成替代时间表，Goossens 建议使用专门设计用于解决一些受限问题的数学方法，例如所谓的整数规划。一旦这种方法为您提供了一个可供选择的花名册，您就可以将其与时钟方法相结合，以获得更平衡的日程安排。这最大限度地减少了滞后效应的值，并保留了旋转时钟方法的一些优点。

在 2007 年惨败之后，挪威引入了明确的规则，以确保赛程相对合理平衡。在比利时，没有明确的规定，但只要古森斯负责赛程，我们可以非常确定，滞后效应肯定会被考虑在内并得到更好的解决。世界各地和不同运动项目对遗留效应的认识是否会提高还有待观察。但有一件事是肯定的：让数学专家帮你安排日程是件好事。

∑ 编辑 | 双子座

翻译|山寺小新手

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